当前所在位置: 爱励志 > 哲理 > 正文

无理数的哲理

2021-03-10 哲理 【 字体: 】 标签 : 无理数,哲理 浏览量:950万

无理数发展简史

四川师范大学数学与软件科学学院610068潘亦宁

在初等数学的教学当中,无理数是一个非常重要的内容从数学发展的历史来看,无理数的发现也具有极其重大的意义因此,在教学中适当介绍无理数的发展历史是十分必要的

1毕达哥拉斯学派与无理数的发现

无理数最早是由古希腊的毕达哥拉斯学派发现的毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前580—前497)是希腊演绎数学的鼻祖之一,生于靠近小亚细亚海岸的萨摩岛据说他曾跟随著名的泰勒斯(ThalesofMiletus,约公元前625—前547)学习过,青年时还到埃及和巴比伦游历,回到希腊后定居于今天意大利南部沿海的克洛托内,并在那里建立了一个秘密会社,也就是今天所说的毕达哥拉斯学派这是一个宗教、科学和哲学性质的会社,会员人数是限定的,由领导人传授知识,会员必须对学派中所传授的知识保密后来,毕达哥拉斯本人由于参与政治斗争而于公元前497年被害,但是学派的其他成员仍然活跃在希腊的各个学术中心

毕达哥拉斯本人没有著作传世,今天所说的毕达哥拉斯学派的数学成就是该学派成员的共同成果这些成果的大部分后来都收录在欧几里得(EuclidofAlexandria,约公元前300)的《几何原本》尽管我们今天把很多几何成就归功于毕达哥拉斯学派,但这个学派最基本的信条却是“万物皆数”他们认为人们所知道的一切事物都包含数,如果没有数就既不可能表达也不可能理解任何事物事实上,毕达哥拉斯学派所说的数仅指整数,分数则被看成两个整数之比他们相信任何量都可以表示成两个整数的比,这在几何上相当于说,对任何两条给定的线段,总能找到某第三线段,以它为单位线段可以将给定的两条线段划分为整数段这样的两条给定线段被称为可公度量,意即相比两量可用公共度量单位量尽,相应的,不能这样表达的量被称为不可公度量后来毕达哥拉斯学派发现并不是任何两条线段都是可公度的,例如单位正方形的对角线与边长就不可公度,即与1不能公度据说不可公度量最早是由学派成员希帕苏斯(Hippasus,公元前470年左右)发现的当时学派成员正在海上集会,因为这一发现而将希帕苏斯投到海里,因为他在宇宙间搞出这样一个东西,否定了毕达哥拉斯学派万物皆数的信条

2与1不能公度的证明也是毕达哥拉斯学派给出的据亚里士多德记载,他们用的是反证法假设2是有理数,那么2可以表示为a∶b,a、b为互素的整数又由2a2=b2]b为偶数,设b=2c]2a2=4c2]a2=2c2]a为偶数这与a、b互素矛盾!这与今天的证明是一致的

很快人们就发现了除2以外的其它一些无理数,这些发现动摇了古希腊数学信仰的基础,因此有时也被称为第一次数学危机这一危机因为欧多克斯重新定义比例论而得到暂时的缓解

2欧多克斯比例论

公元前408年,欧多克斯(Eudoxus,约公元前408~前347)出生于小亚细亚的奈达斯,跟随毕达哥拉斯学派的阿契塔斯(Archytas,约公元前375)学习过,曾到埃及游历过,回到希腊后创立了自己的学派,即今天所说的欧多克斯学派公元前368年他带领自己的门徒一起加入了著名的柏拉图学派欧多克斯是古希腊时代伟大的天文学家、几何学家、医生和地理学家他在数学上的重大贡献是引入了关于比例的一个新理论

越来越多无理数的发现迫使希腊数学家不得不研究这些数它们确实是数吗以前用于可公度的长度、面积和体积的证明怎样才能推广到不可公度的这

6ZHONGXUESHUXUEZHAZHI中学数学杂志2008年第4期

4

1

1

1

1

1

1

1

11/2

1/2

1/2

1/2

22有理数与无理数

教学目标

1、理解有理数的意义。

2、知道无理数是客观存在的,了解无理数的概念。

3、会判断一个数是有理数还是无理数。

4、经历数的扩充,在探索活动中感受数学的逼近思想,体会“无限”的过程,发展数感。通过无理

数的引入,培养从特殊到一般、具体到抽象的逻辑思维能力。

重点、难点

重点:1区分有理数与无理数,知道无理数是客观存在的。

2感受夹逼法,估算无理数的大小。

难点:会判断一个数是有理数还是无理数,体会“无限”的过程。

教学准备:多媒体、计算器、学生分组

教学方法

在探索无理数的概念过程中,以学生的相互讨论为主,先从理论方面让学生提出质疑,然后再辅以计

算器验证,直观、形象的再现了无理数的发现过程,在得出无理数的概念后,再展示出无理数发现的历史

故事,既能缓解了刚刚的疲劳,又能激起他们对于数学知识的敬意。

教学过程

一、创设问题情境,引入新课

1、我们上了好多年的学,学过不计其数的数,概括起来我们都学过哪些数呢

2、我们在小学学了非负数,在初一时引入了负数,即把从小学学过的正数、零扩充了范围;从形式上来看,

我们学过的一部分数又可以分为整数和分数。我们能够把整数写成分数的形式吗?

3、你能写出几个你喜欢的分数吗

小结:我们把可以化为分数形式“

m

n

(m、n是整数,n≠0)”的数叫做有理数;

二、讲授新课

(一)、想一想:小学里我们还学过有限小数和循环小数,它们是有理数吗?

小结:有限小数、无限循环小数都可以化成分数,因此它们都是有理数

(二)、有理数包括整数和分数,那么有理数范围是否就能满足我们实际生活的需要呢?下面我们就来共同

研究这个问题

1议一议:有两个边长为1的小正方形,剪一剪,拼一拼,设法得到一个大正方形。

(1)设大正方形的边长为a,a满足什么条件?

(2)a可能是整数吗?说说你的理由。

(3)a可能是分数吗?说说你的理由,并与同伴交流。

小结:经过讨论可知,在等式a2=2中,a既不是整数,也不是分数,也就是不能写成

m

n

的形式,所

以a不是有理数,但在现实生活中确实存在像a这样的数,由此看来,数又不够用了

2、算一算:

(1)a肯定比1大而比2小,可以表示为1<a<2那么a究竟是1点几呢?请大家用计算器进行探

索,首先确定十分位,十分位究竟是几呢?如112=121,122=144,132=169,142=196,152=225,

而a2=2,故a应比14大且比15小,可以写成14<a<15,所以a是1点4几,即十分位上是4,请

大家用同样的方法确定百分位、千分位上的数字请一位同学把自己的探索过程整理一下,用表格的形式

a=141421356…,还可以再继续进行,且a是一个无限不循环小数

无理数定义:无线部循环小数叫做无理数

(三)、有理数与无理数的主要区别

(1)无理数是无限不循环小数,有理数是有限小数或无限循环小数

(2)任何一个有理数都可以化为分数的形式,而无理数则不能

三、课堂练习

1、判断题

(1)分数是有理数

(2)无限小数都是无理数

(3)无理数都是无限小数

2、把下列各数填在相应的大括号内:

35,0,

π

3

,314,-

2

3

22

7

4

9

,-055,8,11212212221…(相邻两个1之间依次多一个2),0211

1,201,999

正数集合:{…};

负数集合:{…};

有理数集合:{…};

无理数集合:{…}

3、以下各正方形的边长是无理数的是()

(A)面积为25的正方形;(B)面积为16的正方形;

(C)面积为8的正方形;(D)面积为144的正方形

四、课时小结

1.什么叫有理数?有理数包括哪些数?

2、什么叫无理数?

3.如何判定一个数是无理数还是有理数

无理数与实数(基础)

1了解无理数和实数的意义;

2了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用

要点一、有理数与无理数

有限小数和无限循环小数都称为________无限不循环小数叫________

要点二、实数

有理数和无理数统称为________有理数和无理数组成了一个新的数集——________,实数集通常用字母________表示

1实数的分类

按定义分:

实数

正有理数有理数零有限小数或无限循环小数负有理数正无理数无理数无限不循环小数负无理数按与0的大小关系分:

实数0

正有理数正数正无理数负有理数负数负无理数

2实数与数轴上的点一一对应

数轴上的任何一个点都对应一个实数,反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应

要点三、实数大小的比较

对于数轴上的任意两个点,右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大正实数大于0,负实数小于0,两个负数,绝对值大的反而小

要点四、实数的运算

有理数中关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数

当数从有理数扩充到实数以后,实数之间不仅可以进行加、减、乘、除(除数不为0)、乘方运算,而且正数及0可以进行开平方运算,任意一个实数可以进行开立方运算在进行实数的运算时,有理数的运算法则及运算性质等同样适用

阅读全文

相关推荐

热门标签HOT
苏步青关于数形结合的名言_数形结合论文参考文献
奇妙的数王国好段摘抄_奇妙的数王国读后感范文
生日数子祝福语3位数_三位数除以一位数教学反思
小故事大哲理APP_小狐狸数星星故事
宇宙哲理道理_宇宙和宇宙数计算法的论文
三位数开头是1的祝福语_《三位数减三位数退位减法》教案范文
关于无理取闹胡搅蛮缠的名言_关于和平的名人名言大全
特殊数教育教师座右铭励志_教师教育励志名言
陈数经典语录_席慕容经典语录简短
宇宙最后一本书哲理句_宇宙和宇宙数计算法的论文
关于百分数的名言_关于胆量的名言
幸运星颗数祝福语大全_职场你有几颗幸运星
好开头好结尾摘抄大全20字数_立字开头的成语大全
好开头好结尾摘抄大全50字数_三字开头的成语大全
关于默默无闻爱的名言_《爱的教育》读书笔记500字数
日记摘抄小学二年级350字_小学二年级奥数试题
哲理诗常考哲理_哲理语句
A哲理岐_英文哲理故事
哲理集团哲理动力节油卡_哲理美文摘抄
生活的哲理_生活哲理名言
哲理故事 困难_伤感哲理句子
水是什么哲理_哲理语句
企业哲理文章_企业哲理故事
爱哲理故事_爱情哲理故事
石头哲理图_石头哲理故事
好句哲理人生_哲理人生语录
人生交际哲理_人生励志哲理
人生真情哲理_哲理人生语录
哲理励志歌词_人生励志哲理
感叹生活哲理_生活哲理散文
点击排行